1. Límites y continuidad

1.1. Ejemplo

1.2. Ejemplo

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

\[\begin{array}{|l|l|} \hline \text{dom }f=\mathbb{R}-(-2,2)&\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-4} } {f}=-3 \\ \hline f(-2)=f(2)=0 & \displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {f}=\infty \\ \hline f(-4)=-2 & \displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {f}=-2 \\ \hline\end{array}\]

Tareas

• Estudiar:
  • Concepto de límite finito o infinito (en un punto, laterales, en el infinito).
  • Teorema de existencia del límite.
• Encuentra un ejemplo de que cada uno de los tipos de límite (finito en un punto, infinito en un punto, no exitente en un punto, lateral finito, lateral infinito,…).
• Ejercicios: 1.3 - 1.16

1.3. Ejercicio

Calcula las derivadas de las funciones siguientes:

• \(f(x) = \dfrac{x^3-2x^2+x}{(x-1)^2}\)
• \(f(x) = x \cdot \sin^2 x\)
• \(f(x) = \ln \left( \sqrt{1 - x^2} \right)\)
• \(f(x) = \sqrt{\text{atan } \left( x^2 + 1 \right)}\)

1.4. Ejercicio

1.5. Ejercicio

1.6. Ejercicio

1.7. Ejercicio

1.8. Ejercicio

1.9. Ejercicio

1.10. Ejercicio

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

\[\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{dom }h=\mathbb{R}-\{-2,2\}&h(-3)=1&\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {2^-} } {h}=-\infty\\ \hline \displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {h}=-\infty&\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-2^-} } {h}=-\infty&\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {2^+} } {h}=\infty\\ \hline \displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-3} } {h}=-2&\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-2^+} } {h}=\infty&\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {h}=\infty\\ \hline\end{array}\]

1.11. Ejercicio

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

1.12. Ejercicio

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

1.13. Ejercicio

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

1.14. Ejercicio

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

1.15. Ejercicio

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

1.16. Ejercicio

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

1.17. Ejemplo

Sea \(f\) una función de la que se sabe que:

• \(\text{dom} f =\mathbb{R}\);
• \(f(1)=0\);
• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1^-} } {f} = \infty\); \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1^+} } {f}=-\infty\); y,
• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {f}=\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {f}=2\).

1. Determine razonadamente o discuta la inexistencia del límite siguiente: \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1} } {f^2}\).
2. Calcule \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1} } {(f \circ f)}\) (sugerencia: calcule primero los límites laterales).

Tareas

• Estudiar: límites de funciones elementales en su dominio.
• Estudiar: límites de operaciones (\(+\), \(\cdot\), \(/\), \(\circ\)).
• Estudiar: límites de funciones a trozos
• Ejercicios: 1.17, 1.18.

1.18. Ejercicio

• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-1} } {f}\), \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {4} } {f}\) y \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1} } {g}\)
• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {(f+g)}\)
• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-1^-} } {(g \circ f)}\)

Ejemplo

1.19. Ejercicio

1.20. Ejercicio

1.21. Ejemplo

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1} } {5^{\frac{1}{x-1}}}\)

1.22. Ejemplo

• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1} } {\dfrac{x^4-1}{x^3-1}}\)
• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1} } {\dfrac{\dfrac{1}{x}-1}{x-1}}\)

1.23. Ejemplo

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {4} } {\dfrac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}}\)

1.24. Ejemplo

• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {\sqrt{ \dfrac{x^4-1}{x^3-1} }}\)
• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {\dfrac{1-x}{\sqrt{x^2-1}}}\)

1.25. Ejemplo

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {\sqrt{x^2+3}+x}\)

1.26. Ejemplo

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {\left( \dfrac{x^2}{x-1} - \dfrac{x^2}{x+1} \right)}\)

1.27. Ejemplo

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {0} } {\left(\dfrac{1+x^2}{1-x^2}\right)^{\dfrac{1+3x^2}{x^2}}}\)

Tareas

• Estudiar: indeterminaciones.
• Ejercicios:

1.28. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {5} } {\dfrac{1}{x^2-10x+25}}\)

1.29. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {0} } {\left(e^{2/x}+1\right)}\)

1.30. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {0} } {\left(e^{2/x}+1\right)}\)

1.31. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {0} } {\left(e^{2/x}+1\right)}\)

1.32. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {2} } {\dfrac{x^2-x-2}{x^3-3x^2+4}}\)

1.33. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {5} } {\dfrac{x^2-25}{2-\sqrt{x-1}}}\)

1.34. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {\dfrac{x+1}{x^2+3}}\)

1.35. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {\dfrac{7x^3}{x^3-3x^2+6x}}\)

1.36. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {\left(\dfrac{1-x^3}{x^2+7x}\right)^5}\)

1.37. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}}\)

1.38. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {\left(\sqrt{4x^2-6}-\sqrt{4x^2+x}\right)}\)

1.39. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {\left(\dfrac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x+1}}\)

1.40. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {\dfrac{2^x+3^x}{4^x+5^x}}\)