1. Límites y continuidad

1.1. Ejemplo

1.2. Ejemplo

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

\[\begin{array}{|l|l|} \hline \text{dom }f=\mathbb{R}-(-2,2)&\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-4} } {f}=-3 \\ \hline f(-2)=f(2)=0 & \displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {f}=\infty \\ \hline f(-4)=-2 & \displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {f}=-2 \\ \hline\end{array}\]

Tareas

• Estudiar:
  • Concepto de límite finito o infinito (en un punto, laterales, en el infinito).
  • Teorema de existencia del límite.
• Encuentra un ejemplo de que cada uno de los tipos de límite (finito en un punto, infinito en un punto, no exitente en un punto, lateral finito, lateral infinito,…).
• Ejercicios: 1.3 - 1.16

1.3. Ejercicio

Calcula las derivadas de las funciones siguientes:

• \(f(x) = \dfrac{x^3-2x^2+x}{(x-1)^2}\)
• \(f(x) = x \cdot \sin^2 x\)
• \(f(x) = \ln \left( \sqrt{1 - x^2} \right)\)
• \(f(x) = \sqrt{\text{atan } \left( x^2 + 1 \right)}\)

1.4. Ejercicio

1.5. Ejercicio

1.6. Ejercicio

1.7. Ejercicio

1.8. Ejercicio

1.9. Ejercicio

1.10. Ejercicio

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

\[\begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{dom }h=\mathbb{R}-\{-2,2\}&h(-3)=1&\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {2^-} } {h}=-\infty\\ \hline \displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {h}=-\infty&\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-2^-} } {h}=-\infty&\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {2^+} } {h}=\infty\\ \hline \displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-3} } {h}=-2&\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-2^+} } {h}=\infty&\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {h}=\infty\\ \hline\end{array}\]

1.11. Ejercicio

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

1.12. Ejercicio

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

1.13. Ejercicio

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

1.14. Ejercicio

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

1.15. Ejercicio

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

1.16. Ejercicio

Dibuja la gráfica de una función \(f\) tal que:

1.17. Ejemplo

Sea \(f\) una función de la que se sabe que:

• \(\text{dom} f =\mathbb{R}\);
• \(f(1)=0\);
• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1^-} } {f} = \infty\); \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1^+} } {f}=-\infty\); y,
• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {f}=\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {f}=2\).

1. Determine razonadamente o discuta la inexistencia del límite siguiente: \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1} } {f^2}\).
2. Calcule \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1} } {(f \circ f)}\) (sugerencia: calcule primero los límites laterales).

Tareas

• Estudiar: límites de funciones elementales en su dominio.
• Estudiar: límites de operaciones (\(+\), \(\cdot\), \(/\), \(\circ\)).
• Estudiar: límites de funciones a trozos
• Ejercicios: 1.17, 1.18.

1.18. Ejercicio

• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-1} } {f}\), \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {4} } {f}\) y \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1} } {g}\)
• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {(f+g)}\)
• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-1^-} } {(g \circ f)}\)

Ejemplo

1.19. Ejercicio

1.20. Ejercicio

1.21. Ejemplo

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1} } {5^{\frac{1}{x-1}}}\)

1.22. Ejemplo

• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1} } {\dfrac{x^4-1}{x^3-1}}\)
• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {1} } {\dfrac{\dfrac{1}{x}-1}{x-1}}\)

1.23. Ejemplo

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {4} } {\dfrac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}}\)

1.24. Ejemplo

• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {\sqrt{ \dfrac{x^4-1}{x^3-1} }}\)
• \(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {\dfrac{1-x}{\sqrt{x^2-1}}}\)

1.25. Ejemplo

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {\sqrt{x^2+3}+x}\)

1.26. Ejemplo

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {\left( \dfrac{x^2}{x-1} - \dfrac{x^2}{x+1} \right)}\)

1.27. Ejemplo

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {0} } {\left(\dfrac{1+x^2}{1-x^2}\right)^{\dfrac{1+3x^2}{x^2}}}\)

Tareas

• Estudiar: indeterminaciones.
• Ejercicios:

1.28. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {5} } {\dfrac{1}{x^2-10x+25}}\)

1.29. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {0} } {\left(e^{2/x}+1\right)}\)

1.30. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {0} } {\left(e^{2/x}+1\right)}\)

1.31. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {0} } {\left(e^{2/x}+1\right)}\)

1.32. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {2} } {\dfrac{x^2-x-2}{x^3-3x^2+4}}\)

1.33. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {5} } {\dfrac{x^2-25}{2-\sqrt{x-1}}}\)

1.34. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {\dfrac{x+1}{x^2+3}}\)

1.35. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {\dfrac{7x^3}{x^3-3x^2+6x}}\)

1.36. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {\left(\dfrac{1-x^3}{x^2+7x}\right)^5}\)

1.37. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {-\infty} } {\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}}\)

1.38. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {\left(\sqrt{4x^2-6}-\sqrt{4x^2+x}\right)}\)

1.39. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {\left(\dfrac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x+1}}\)

1.40. Ejercicio

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {\infty} } {\dfrac{2^x+3^x}{4^x+5^x}}\)

1.41. Ejercicio

Obtener el valor de \(k\) sabiendo que: \(\underset{x \rightarrow \infty}{\lim} \left( \dfrac{x + 3}{x} \right)^{k x + 5} = e^2\)

1.42. Ejemplo

\(\displaystyle\lim_{ {x} \rightarrow {0^+} } {x\sin\dfrac{1}{x}}\)

1.43. Ejemplo

Estudiar la continuidad de \(f(x) = \dfrac{1}{\ln |x|}\) en \(x=0\).

1.44. Ejemplo

Estudiar la continuidad de \(f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}\dfrac{x+1}{x^2-1} & x<-1 \\ x^2+1 & x \geq -1 \end{array} \right\}\) en \(x=-1\).

1.45. Ejemplo

Estudiar la continuidad de \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{1}{\ln\left(x^2+1\right)} & \text{si }x\leq1 \\ \dfrac{3x-6}{x^2-4} & \text{si }x>1 \end{array}\right\}\).

1.46. Ejercicio

Determinar el dominio y estudiar la paridad de la función \(f(x) = \sqrt{x^{2} + 3x}\).

1.47. Ejercicio

Hallar el dominio y estudiar la continuidad de las funciones siguientes:

• \(f(x)=\dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2}\)
• \(f(x)=\ln(x+1)\)
• \(f(x)=e^{1/x}\)
• \(f(x)=\dfrac{x}{\ln(x-1)}\)

1.48. Ejercicio

Estudiar la continuidad de la función \(f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2 \sin \left(\dfrac{\pi x^{2}}{2}\right) & \text{si } x \leq 1 \\ \dfrac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} & \text{si } x > 1 \end{array} \right\}\) en \(x=1\).

1.49. Ejemplo

Demostrar que existe un valor \(a \in (-3,1)\) tal que la función \(f(x) = \left\{\begin{array}{cc} {x+2} & \text{si } -3 \leq x < a \\ e^x - 1 & \text{si } a \leq x \leq 1 \end{array}\right\}\) es continua.

1.50. Ejercicio

Dada la función \(f(x) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\). Estudiar la simetría de la función \(g(x) = f\left(x f(x)\right)\).

1.51. Ejercicio

Demostrar que la ecuación \(x^3+x^2-7x+1=0\) tiene al menos una solución en el intervalo \([0,1]\).

1.52. Ejemplo

Calcular las asíntotas de \(f(x)=\dfrac{x^3-x^2}{x^2-1}\)

1.53. Ejercicio

Calcula el dominio y las asíntotas de las funciones siguientes:

• \(f(x)=\dfrac{x^2-5x+1}{x^2-1}\)
• \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)
• \(f(x)=\sqrt{\dfrac{x^2-4}{x^2-1}}\)
• \(f(x)=\dfrac{2x-3}{|x-1|}\)

1.54. Ejercicio

Determinar el valor de la constante \(k\) sabiendo que la curva de ecuación \(y=\dfrac{x^3+kx^2+1}{x^2+1}\) posee una asíntota que pasa por el punto \((1,3)\).

1.55. Ejercicio

Determinar las asíntotas de la función siguiente, especificando los valores del parámetro real \(a\) para los cuales \(f\) tiene una asíntota vertical, dos asíntotas verticales, o bien no tiene asíntotas verticales: \[f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x-a}\]

1.56. Ejercicio

Dada la función \(f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{x-1}{x^{2} - 1} & \text{si } x < 1, x \neq -1 \\ \dfrac{x^{2} + 1}{4x} & \text{si } x \geq 1 \end{array} \right\}\):

• Calcule \(f(0)\) y \((f \circ f)(0)\).
• Estudie su continuidad.
• Estudie sus asíntotas.

1.57. Ejercicio

Sea la función \(f(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{3x - a}\), donde \(a\) es un parámetro real.

• Halle el valor de \(a\) para que la gráfica de \(f(x)\) presente una asíntota vertical en \(x=2\). Para dicho valor, estudie el resto de asíntotas de la gráfica.
• Obtenga los valores de \(a\) para los cuales la gráfica de la función no presenta asíntotas verticales.