Averigua la derivada de las funciones dadas en los puntos que se indican, utilizando la definición de derivada:
\(f(x)=1/x\), en \(x=2\).
\(f(x)=3-x^2\), en \(x=-1\).
\(f(x)=\sqrt{x+1}\), en \(x=3\).
Averigua la derivada de las funciones dadas en los puntos que se indican, utilizando la definición de derivada:
\(f(x)=x^2+4\), en \(x=1\).
\(f(x)=x^3+x\), en \(x=0\).
\(f(x)=\ln x\), en \(x=1\).
Halla la función derivada de cada una de las funciones siguientes, utilizando la definición de derivada:
\(f(x)=7x\).
\(f(x)=x+\sqrt{x}\).
\(f(x)=\sen x\). Indicación: utilizar la identidad trigonométrica, \(\sen(a+b)=\sen a\cos b+\cos a\sen b\).
Halla la función derivada de cada una de las funciones siguientes, utilizando la definición de derivada:
\(f(x)=3x^2\).
\(f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\).
Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones:
\(f(x)=\dfrac{x^3-8}{x^2-4x-5}\).
\(f(x)=\thpwf{x^2+1}{x \leq 0}{x^3}{0 < x \leq 1}{-x+2}{x \geq 1}\)
\(f(x)=x^{4/5}\).
\(f(x)=\sqrt[3]{|x|}\).
Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones:
\(f(x)=\thpwf{(x+1)^2}{x\leq 0}{2x+1}{0<x<3}{(4-x)^2}{x\geq 3}\).
\(f(x)=3x-2|x|-1\).
\(f(x)=3-\sqrt[3]{x}\).
Halla los valores de \(a\) y \(b\) para los que la función siguiente es derivable en \(\mathbb{R}\): \[f(x)=\twpwf{3-x}{x<1}{ax^2+bx}{x\geq 1}\]
Determinar los valores de \(a\) y \(b\) para que sea derivable la función: \[f(x)= \twpwf{ax^2+bx-3}{x\leq 1}{2bx-4}{x>1}\]
Obtener la derivada de las siguientes funciones:
\(f(x)=2x^8-3x^5+5\)
\(f(x)=\dfrac{2x+5}{3x-2}\)
\(f(x)= \dfrac{1-x^2}{1+x^2}\)
\(f(x)= \dfrac{1}{\left(x^2-2x-5\right)^4}\)
Obtener la derivada de las siguientes funciones:
\(f(x)=3x^{4/3}-6x^{2/3}-2\)
\(f(x)=\dfrac{x^2}{1-x^3}\)
\(f(x)= \dfrac{\ln x}{x+1}\)
\(f(x)= \dfrac{1}{\sqrt[5]{2x^2+3x-1}}\)
Obtener la derivada de las siguientes funciones:
\(f(x)=\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
\(f(x)= \dfrac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)}\)
\(f(x)= \dfrac{1+\ln x}{1-\ln x}\)
\(f(x)= \sqrt[4]{\dfrac{x^3+1}{x^2-1}}\)
Obtener la derivada de las siguientes funciones:
\(f(x)=\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt{x^3}\)
\(f(x)= \sqrt[3]{x}\ln x\)
\(f(x)= \left(x^3+3x^2-5x-3\right)^5\)
\(f(x)= \sqrt{\ln x}\)
Obtener la derivada de las siguientes funciones:
\(f(x)=3x+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{x}}\)
\(f(x)= \left(2e^x+x^2\right)\ln x\)
\(f(x)= \sqrt{x^2-8x+1}\)
\(f(x)= \ln \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}\)
Obtener la derivada de las siguientes funciones:
\(f(x)= \thpwf{-x^2}{x\leq0}{x^3}{0<x<1}{2}{x\geq1}\)
\(f(x)=\sen e^x\)
\(f(x)=\ln\left(\ln\left(\ln x\right)\right)\)
\(f(x)=\sen\left(\ln|x|\right)\)
\(f(x)=x^{\sen x}\)
Obtener la derivada de las siguientes funciones:
\(f(x)= x^2-|x|\)
\(f(x)=\arctg\left(\sqrt{x}-x\right)\)
\(f(x)=\dfrac{\sen 2x}{1+\cos^2x}\)
\(f(x)=\ln\left|\sen x\right|\)
\(f(x)=\left(\cos(2x)\right)^{1/x^2}\)
Halla las cuatro primeras derivadas de cada una de las funciones siguientes:
\(f(x)= x^4+x^3-2x^2+x-5\)
\(f(x)= x^2+x+3\)
\(f(x)= \sen^2 x\)
\(f(x)= \dfrac{x}{x+1}\)
Hallar la ecuación de las rectas tangente y normal a cada curva en el punto indicado:
\(y= 1-x^2\), en el punto \((2,-3)\).
\(y=\left(1+e^{-x}\right)^{-1}\), en el punto de abscisa \(0\).
\(y=\sqrt[3]{x}\), en el punto \((0,0)\).
Hallar la ecuación de las rectas tangente y normal a cada curva en el punto indicado:
\(y=\dfrac{1}{1+x^2}\), en el punto \(x=1\).
\(y=\cos(2x)\), en el punto \(x=\dfrac{\pi}{4}\).
\(y=x\ln x-x\), en el punto \(x=1\).
Hallar los puntos de la gráfica de \(f(x)= x^3-3x+5\) en los que la recta tangente es:
paralela a la recta \(y=24x\);
perpendicular a la recta \(y=-x/9\).
Hallar la ecuación de la recta tangente en cada caso.
¿Para qué valores de \(a\) y \(b\) la recta \(2x+y=b\) es tangente a la parábola \(f(x)=ax^2\) cuando \(x=2\)?
Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola \(y=x^2+x\) que pasan por el punto \(Q(2,-3)\).
Dada la función \(f(x)= x\ln x\), hallar los puntos de la gráfica de \(f\) en los que la recta tangente es horizontal.
Hallar los extremos relativos y absolutos de las funciones siguientes:
\(f(x)= 2x^2-8x+9\)
\(f(x)= \dfrac{1}{x^2-1}\)
\(f(x)= xe^{2x}\)
Hallar los extremos relativos y absolutos de las funciones siguientes:
\(f(x)= x^3-2x+4\)
\(f(x)= \dfrac{1}{x^2+1}\)
\(f(x)= \ln\left(x^2+1\right)\)
Hallar los extremos relativos y absolutos de las funciones siguientes:
\(f(x)= x^3+x^2-8x+15\)
\(f(x)= \sqrt{x^2-1}\)
\(f(x)= \dfrac{x}{\ln x}\)
Hallar los extremos relativos y absolutos de las funciones siguientes:
\(f(x)= \dfrac{x}{x^2+1}\)
\(f(x)= \dfrac{x^2+1}{x^2-1}\)
\(f(x)= \arctg\left(x^2+1\right)\)
Hallar los extremos relativos y absolutos de las funciones siguientes:
\(f(x)= \dfrac{x+1}{x^2+2x+2}\)
\(f(x)= \dfrac{x^3+2x^2}{x^2+1}\)
\(f(x)= \arcsen\left(\dfrac{1}{x}\right)\)
Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de \(f\) sobre el intervalo dado:
\(f(x)= 3x^5-5x^3-1\), en \([-2,2]\).
\(f(x)= x-3\ln x\), en \([1,4]\).
\(f(x)= \dfrac{\sen x}{2+\sen x}\), en \([-\pi,\pi]\).
\(f(x)=\dfrac{x}{x^3-2}\), en \([-2,2]\).
Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de \(f\) sobre el intervalo dado:
\(f(x)= x^2+2/x\), en \([1/2,2]\).
\(f(x)= \sqrt{1-x^2}\), en \([-1,1]\).
\(f(x)= e^x\cos x\), en \([-\pi,\pi]\).
Sea \(f(x)=x^2+px+q\). Hallar los valores de \(p\) y \(q\) para los cuales \(f(1)=3\) sea un valor extremo de \(f\) en \([0,2]\). ¿Es un máximo o un mínimo?
Hallar la ecuación de una función polinómica de tercer grado sabiendo que tiene un máximo local en el punto \(P(0,4)\) y un mínimo local en el punto \(Q(2,0)\).
Sea la función \(f(x)= ax^3+bx^2+cx\). Hallar el valor de los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\), si se sabe que en el punto \((0,0)\) su gráfica posee un extremo relativo y que el punto \((2,-16)\) es un punto de inflexión.
Dada la función real de variable real \(f(x)=\dfrac{3x^2-5}{x+1}\).
Hállense sus asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
Hállense los puntos de corte de la gráfica de \(f\) con los ejes de coordenadas y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Esboza la gráfica de las funciones siguientes (en cada caso, estudia previamente: dominio, simetría, cortes con los ejes, intervalos de crecimiento, extremos relativos, intervalos de curvatura, puntos de inflexión, ramas infinitas y asíntotas):
\(f(x)= -x^3+3x\)
\(f(x)= \dfrac{x}{x^2-1}\)
\(f(x)= \dfrac{x^2}{x^2+1}\)
Esboza la gráfica de las funciones siguientes (en cada caso, estudia previamente: dominio, simetría, cortes con los ejes, intervalos de crecimiento, extremos relativos, intervalos de curvatura, puntos de inflexión, ramas infinitas y asíntotas):
\(f(x)= x^3-6x^2+12x-7\)
\(f(x)= \dfrac{1}{x^2-2}\)
\(f(x)= \dfrac{x^3-3x^2+4}{x^2}\)
Esboza la gráfica de las funciones siguientes (en cada caso, estudia previamente: dominio, simetría, cortes con los ejes, intervalos de crecimiento, extremos relativos, intervalos de curvatura, puntos de inflexión, ramas infinitas y asíntotas):
\(f(x)= x^4-4x^2\)
\(f(x)= \dfrac{2}{x^3-3x}\)
\(f(x)= \dfrac{x^3-3x^2-8x+20}{2x^2-2x-24}\)
Esboza la gráfica de las funciones siguientes (en cada caso, estudia previamente: dominio, simetría, cortes con los ejes, intervalos de crecimiento, extremos relativos, intervalos de curvatura, puntos de inflexión, ramas infinitas y asíntotas):
\(f(x)= 3x^4+4x^3\)
\(f(x)= \dfrac{x^3-1}{x^3+1}\)
\(f(x)= \dfrac{x^4-1}{x^3-1}\)
Esboza la gráfica de las funciones siguientes (en cada caso, estudia previamente: dominio, simetría, cortes con los ejes, intervalos de crecimiento, extremos relativos, intervalos de curvatura, puntos de inflexión, ramas infinitas y asíntotas):
\(f(x)= \dfrac{3-x}{x-2}\)
\(f(x)= \dfrac{x^2-2x+2}{x-1}\)
\(f(x)= \dfrac{x^3}{(x-2)^2}\)
Esboza la gráfica de las funciones siguientes (en cada caso, estudia previamente: dominio, simetría, cortes con los ejes, intervalos de crecimiento, extremos relativos, intervalos de curvatura, puntos de inflexión, ramas infinitas y asíntotas):
\(f(x)= \dfrac{x+1}{x^2}\)
\(f(x)= \dfrac{x^2-4}{x+1}\)
\(f(x)= \dfrac{x^3-8}{x^2+5}\)
Esboza la gráfica de las funciones siguientes, estudiando previamente su continuidad y derivabilidad:
\(f(x)= \twpwf{(x-2)^2-1}{x\leq2}{x-3}{x>2}\)
\(f(x)= x|x|\)
\(f(x)= \sqrt{|x|}\)
Esboza la gráfica de las funciones siguientes, estudiando previamente su continuidad y derivabilidad:
\(f(x)= \twpwf{\dfrac{1}{x}-1}{|x|\geq\dfrac{1}{2}}{-4x^2+2}{|x|<\dfrac{1}{2}}\)
\(f(x)= x^2|x-3|\)
\(f(x)= \ln(x-1)\)
Esboza la gráfica de las funciones siguientes, estudiando previamente su continuidad y derivabilidad:
\(f(x)= \thpwf{\dfrac{1}{x}}{x\leq0}{\ln x}{0<x\leq1}{x}{x>1}\)
\(f(x)= \sqrt[3]{x}\)
\(f(x)= e^{-x^2}\)
Esboza la gráfica de las funciones siguientes:
\(f(x)=\dfrac{\sen x}{2+\cos x}\), en \([-2\pi,2\pi]\).
\(f(x)=\dfrac{x}{\ln x}\).
Esboza la gráfica de las funciones siguientes:
\(f(x)=x+\sen x\), en \([-2\pi,2\pi]\).
\(f(x)=x\ln x\).
Esboza la gráfica de las funciones siguientes:
\(f(x)= \arctg\left(x^2+1\right)\).
\(f(x)=x^2e^{-x}\).
Esboza la gráfica de la función siguiente: \(f(x)=\ln\left(\dfrac{x^2}{x-1}\right)\).
El coste fabricación de una serie de hornos microondas viene dado por la función \(C(x)=x^2+40x+30000\), donde \(x\) representa el número de hornos fabricados. Supongamos que cada horno se vende por 490 euros.
Determínese la función de beneficios.
¿Cuántos microondas deben fabricarse y venderse para que los beneficios sean máximos? ¿Cuál es el importe de esos beneficios máximos?
Una empresa de productos de limpieza fabrica cajas de cartón con tapa, para comercializar un determinado tipo de detergente. Las cajas son prismas rectos de 9000 \(cm^3\) de volumen y base rectangular de largo igual al doble de su anchura. Calcúlense las dimensiones en centímetros (largo, anchura, altura) que ha de tener cada caja para que la superficie de cartón empleada en su fabricación sea mínima.
Se considera un rectángulo \(R\) de lados \(x\), \(y\).
Si el perímetro de \(R\) es igual a 12 m, calcúlense \(x\), \(y\) para que el área de \(R\) sea máxima y calcúlese el valor de dicha área máxima.
Si el área de \(R\) es igual a 36 \(m^2\), calcúlense \(x\), \(y\) para que el perímetro de \(R\) sea mínimo y calcúlese el valor de dicho perímetro mínimo.
El coste de un marco para una ventana rectangular es de 50 euros por cada metro de lado vertical y de 25 euros por cada metro de lado horizontal. Se desea construir una ventana de superficie igual a 2 \(m^2\). Calcúlense sus dimensiones (largo y alto) para que el marco sea lo más barato posible. Calcúlese el precio mínimo del marco de dicha ventana.
Una empresa vinícola tiene plantadas 1200 cepas de vid en una finca, produciendo cada cepa una media de 16 kg de uva. Existe un estudio previo que garantiza que por cada cepa que se añade a la finca, las cepas producen de media 0,01 kg menos de uva cada una. Determínese el número de cepas que se deben añadir a las existentes para que la producción de uvas de la finca sea máxima.
Se considera el rectángulo (R) de vértices \(BOAC\) con \(B(0,b)\), \(O(0,0)\), \(A(a,0)\), \(C(a,b)\), \(a>0\), \(b>0\), y cuyo vértice \(C\) está situado en la parábola de ecuación \(y=-x^2+12\).
Para \(a=3\), determínense las coordenadas de los vértices de (R) y calcúlese el área de (R).
Determínense las coordenadas de los vértices de (R) de manera que el área de (R) sea máxima.
Calcúlese el valor de dicha área máxima.
Hallar el punto más cercano al punto \((-3,1)\) sobre la recta \(6x+y=9\).
Se inscribe un cilindro circular recto en un cono de altura \(H\) y radio de la base \(R\). ¿Cuál es el máximo volumen posible de ese cilindro?
En un cartel rectangular los márgenes superior e inferior miden \(6\ cm\) cada uno y los laterales \(4\ cm\). Si el área del material impreso se fija en \(384\ cm^2\), ¿cuáles son las dimensiones del cartel de área mínima?
Hallar la ecuación de una recta que pase por el punto \((3,5)\) y determine un área mínima en el primer cuadrante.
Una mujer se encuentra en un punto A sobre la playa de un lago circular de radio \(2\ km\), y desea llegar al punto \(C\), diametralmente opuesto al punto \(A\) sobre el otro lado del lago, en el menor tiempo posible. Puede caminar por el borde circular a \(4\ km/h\) y remar en un bote a \(2\ km/h\). ¿Qué camino debe seguir?
Se quiere construir un depósito de barro cilíndrico de volumen \(432\pi\) \(dm^3\) para elaborar un vino artesanal usando técnicas antiguas. El depósito se sitúa verticalmente, apoyado sobre su base circular. Se sabe que al utilizar ese material poroso se produce, con el tiempo, una pérdida de líquido a través de la superficie que está en contacto con el vino. Dicha pérdida a través de la pared lateral es de \(10\) \(cl\) por \(dm^2\) y a través del suelo de \(20\) \(cl\) por \(dm^2\). Calcular las dimensiones que debe tener el depósito para que la filtración de vino sea mínima.
Demuéstrese que la ecuación \(x=\ln(1+x)\) tiene una única solución.
Calcula los límites siguientes:
\(\limite{x}{0}{\dfrac{e^x-1}{\sen x}}\)
\(\limite{x}{\infty}{\dfrac{x}{\ln\left(1+2e^x\right)}}\)
\(\limite{x}{0^+}{\sqrt{x}\ln x}\)
Calcula los límites siguientes:
\(\limite{x}{0}{\dfrac{5^x-3^x}{x}}\)
\(\limite{x}{0}{\dfrac{x+\tg(2x)}{x-\tg(2x)}}\)
Sea la función \(f(x) = \sqrt[5]{(x-2)^2}\).
(0,5 puntos) Estudie su continuidad y derivabilidad en \([-2, 4]\).
(1,25 puntos) Analice crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos absolutos de \(f\) en \([-2,4]\).
(0,75 puntos) Determine si la función \(g(x)=f'(x)\) es continua en \(x=2\) y si tiene recta tangente en dicho punto.
(Mod. 2004, A.2, 2 ptos.) Dada la función
\[f ( x ) = \left\{\begin{array}{ll}(e^x-1)/(x^2-x)&\text{si }x\neq 0\\ a&\text{si }x=0\end{array}\right.\]
Determinar su dominio, y calcular los límites laterales cuando \(x \rightarrow 1\).
Estudiar su continuidad, y hallar el valor de \(a\) para el que \(f\) es continua en \(x = 0\).
(Septiembre 2002, B.4, 3 ptos.) Sea \(f ( x )\) una función real de variable real, derivable y con derivada continua en todos los puntos y tal que:
\(f ( 0 ) = 1 ; f ( 1 ) = 2 ; f' ( 0 ) = 3 ; f' ( 1 ) = 4\)
Se pide:
Calcular \(g' ( 0 )\), siendo \(g ( x ) = f ( x + f ( 0 ) ) .\)
Calcular \(\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \dfrac{2 ( f ( x ) )^2 - f ( x + 1 )}{e^x - 1}\)
(Septiembre 2002, A.2, 2 ptos.) Se considera la función real de variable real definida por:
\[f ( x ) = \left\{\begin{array}{ll}\sqrt[3]{x-2}&\text{si }x\geq 2\\x(x-2)&\text{si }x<2\end{array}\right.\]
Estudiar su continuidad y derivabilidad.
Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto (3,1).
(Junio 2004, A.1, 2 ptos.) Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima.
(Septiembre 2004, A.4, 3 ptos.) Sabiendo que una función tiene como derivada:
\(f' ( x ) = ( x - 4 )^2 ( x^2 - 8 x + 7 )\)
Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \(f\).
Hallar los máximos y mínimos relativos de \(f\).
¿Es el punto \(x = 4\) un punto de inflexión de \(f\)? Justificar razonadamente la respuesta.
(Junio 2007, A.4, 3 ptos.) Se considera la función \(f ( x ) = x^2 + m\), donde \(m > 0\) es una constante.
Para cada valor de \(m\) hallar el valor \(a>0\) tal que la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((a,f(a))\) pase por el origen de coordenadas.
Hallar el valor de \(m\) para que la recta \(y = x\) sea tangente a la gráfica de \(f ( x )\).
(Mod. 2004, B.3, 3 ptos.) Se considera la función
\(f ( x ) = \dfrac{1}{1 + ( \tmop{sen} x )^2}\)
Calcular sus puntos críticos en el intervalo abierto \(( - \pi, \pi )\).
Calcular los extremos relativos y/o absolutos de la función \(f( x )\) en el intervalo cerrado \([ - \pi, \pi ]\).
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función \(f ( x )\) en el punto \(( \pi / 4, f ( \pi / 4 ) ) .\)
(Mod. 2006, B.2, 2 ptos.) Se considera la función:
\(f ( x ) = \dfrac{1}{2 + \tmop{sen} x - \cos x}\)
Se pide:
Calcular sus extremos locales y/o globales en el intervalo \([- \pi, \pi ]\).
Comprobar la existencia de, al menos, un punto \(c\in[-\pi,\pi]\) tal que \(f''(c)=0\). (Sugerencia: utilizar el teorema de Rolle). Demostrar que en \(c\) hay un punto de inflexión.
(Junio 2004, B.4, 3 ptos.) Dada la función \(f ( x ) = 1 - x^2\), se pide:
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \(P \left( a, f ( a ) \right)\), donde \(0 < a < 1\).
Hallar los puntos \(A\) y \(B\) en los que la recta hallada en el apartado a) corta a los ejes vertical y horizontal, respectivamente.
(Junio 2000, A.4, 3 ptos.) Sea \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) un polinomio que cumple \(f(1)=0\), \(f'(0)=2\), y tiene dos extremos relativos para \(x=1\) y \(x=2\).
Determinar \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\).
¿Son máximos o mínimos los extremos relativos?
(Mod. 2008, A.1, 2 ptos.) Se considera la función \(f ( x ) = \dfrac{x}{e^x}\).
Hallar sus asíntotas y extremos locales.
Calcular los puntos de inflexión de \(f ( x )\) y dibujar la gráfica de \(f ( x )\).
(Junio 2005, B.3, 3 ptos.) Calcular los límites siguientes:
\(\underset{x \rightarrow \infty}{\lim} \left( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x} \right)\)
\(\underset{x \rightarrow \infty}{\lim} x \left[ \tmop{arctg} ( e^x ) - \frac{\pi}{2} \right]\)
(Septiembre 2005, B.1, 2 ptos.) Dada la función \(f ( x ) = \ln\dfrac{x^2}{x - 1}\) donde ln significa , definida para \(x > 1\), hallar un punto \(( a, f ( a ) )\) tal que la recta tangente a la gráfica de \(f ( x )\) en ese punto sea paralela al eje OX.
(Junio 2003, A.1, 2 ptos.) Calcular los siguientes límites (donde ln significa ).
\(\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \dfrac{\ln ( \cos ( 3 x ) )}{\ln ( \cos ( 2 x ) )}\)
\(\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \dfrac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{4 x}\)
(Junio 2003, B.3, 3 ptos.)
Dibujar la gráfica de la función \(g ( x ) = e^x - x\).
Calcular el dominio de definición de \(f ( x ) = \dfrac{1}{e^x - x}\) y su comportamiento para \(x \rightarrow \infty\) y \(x\rightarrow - \infty\).
Determinar (si existen) los máximos y mínimos absolutos de \(f( x )\) en su dominio de definición.
(Septiembre 2000, A.2, 2 ptos.) Dados tres números reales cualesquiera \(r_1\), \(r_2\) y \(r_3\), hallar el número real \(x\) que minimiza la función
\(D ( x ) = ( r_1 - x )^2 + ( r_2 - x )^2 + ( r_3 - x )^2\)
(Septiembre 2001, B.2, 2 ptos.) Sea \(P ( x )\) un polinomio de grado 4 tal que:
\(P ( x )\) es una función par.
Dos de sus raíces son \(x = 1\), \(x = - \sqrt{5}\).
\(P ( 0 ) = 5\).
Se pide:
Hallar sus puntos de inflexión.
Dibujar su gráfica.
(Septiembre 2005, A.4, 3 ptos.) Dada la función \(f ( x ) = \dfrac{1}{x}\) se pide:
Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto \(( a, f ( a ) )\), para \(a > 0\).
Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el apartado a) con los dos ejes coordenados.
Hallar el valor de \(a > 0\) que hace que la distancia entre los dos puntos hallados en b) sea mínima.
Considera la función \(f :\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) definida por
\[f ( x ) = e^{\frac{2 x}{x^2 + 1}}\]
Calcula las asíntotas de la gráfica de \(f\).
Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos de \(f\) (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).
Se sabe que
\(\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \dfrac{x - \alpha \tmop{sen} x}{x^2}\)
es finito. Determina el valor de \(\alpha\) y calcula el límite.
(Junio 2000, B.2, 2 ptos.)
Si es posible, dibujar de forma clara la gráfica de una función continua en el intervalo \([ 0, 4 ]\) que tenga al menos un máximo relativo en el punto \(( 2, 3 )\) y un mínimo relativo en el punto \(( 3, 4 )\).
Si la función fuera polinómica, ¿cuál ha de ser como mínimo su grado?
Calcula \(\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \dfrac{\ln ( 1 + x ) - \tmop{sen} x}{x \cdot \tmop{sen} x}\).
(Septiembre 2012, A.1, 3 puntos) Dada la función \[f(x)=\twpwf{3x+A}{\text{si }x\leq3}{-4+10x-x^2}{\text{si }x>3}\]
(1 punto) Hallar el valor de \(A\) para que \(f(x)\) sea continua. ¿Es derivable, para ese valor de \(A\)?
(1 punto) Hallar los puntos en los que \(f'(x)=0\).
(1 punto) Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de \(f(x)\) en el intervalo \([4,8]\).
(Junio 2001, B.2, 2 ptos.)
Determinar los extremos relativos de la función \(f ( x ) = x^2 - 4 x + 2\). Dibujar su gráfica.
Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de \(f\) que pasan por el punto \(P ( 3, - 5 )\).
(Mod. 2005, B.3, 3 ptos.) Sea la función \(f ( x ) = \ln ( 1 + x^2 )\), donde ln significa .
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los intervalos de concavidad y convexidad.
Dibujar la gráfica de la \(f\).
Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de \(f\) en sus puntos de inflexión.
(Mod. 2006, B.1, 2 ptos.)
Hallar el punto \(P\) en el que se cortan las gráficas de las funciones:
\(f ( x ) = \dfrac{2}{x}\) \(g ( x ) = + \sqrt{x^2 - 3}\)
Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes en el punto \(P\) a cada una de las curvas anteriores y demostrar que son perpendiculares.
(Septiembre 2006, A.2, 2 ptos.)
Calcular los valores de \(a\) y \(b\) para que la función \[f ( x ) = \left\{\begin{array}{ll} 3 x + 2 & \tmop{si} x < 0\\ x^2 + 2 a \cos x & \tmop{si} 0 \leqslant x < \pi\\ a x^2 + b & \tmop{si} x \geqslant \pi \end{array}\right.\] sea continua para todo valor de \(x\).
Estudiar la derivabilidad de \(f ( x )\) para los valores de \(a\) y \(b\) obtenidos en el apartado anterior.
(Mod. 2003, A.1, 2 ptos.) Determinar los valores de las constantes \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) para los cuales la gráfica de la función real de variable real
\(f ( x ) = A \tmop{sen} x + B x^2 + C x + D\)
tiene tangente horizontal en el punto \(( 0, 4 )\) y además su derivada segunda es \(f'' ( x ) = 3 \tmop{sen} x - 10\).
(Mod. 2005, A.1, 2 ptos.)
Justificar razonadamente que la gráfica de la función \(f ( x ) = x^{15} + x + 1\) corta al eje OX al menos una vez en el intervalo \([ - 1, 1 ]\).
Determinar razonadamente el número exacto de puntos de corte con el eje OX cuando \(x\) recorre toda la recta real.
Sea \(f\) la función definida para \(x \neq 0\) por \(f ( x ) = \dfrac{x^2 + 1}{x}\).
Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \(f\).
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \(f\) y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
Esboza la gráfica de \(f\).
Se sabe que una función \(f\) es derivable en todos los puntos y además se sabe que \(f ( 1 ) = 0\) y que \(f' ( 1 ) = - 2\). Se considera la función \(h(x)\) definida por
\(h ( x ) = e^{f ( x )} + x^2 f ( x ) + ( f ( x ) )^2\)
Calcular razonadamente \(h' ( 1 )\).
Hallar el punto de la curva de ecuación
\(y = x^3 - 3 x^2 + 6 x - 4\)
en el que la tangente a la misma tiene pendiente mínima. Escribir la ecuación de dicha tangente.
Determina el valor de las constantes \(c\) y \(d\) sabiendo que la gráfica de la función \(f :\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) definida por \(f ( x ) = x^3 + 3 x^2 + c x + d\) tiene como recta tangente en su punto de inflexión a la recta \(y = 3 x + 4\).
Considera la función \(f :\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) definida por \[f ( x ) = \left\{\begin{array}{ll} 3 a x + b & \tmop{si} x \leqslant 0\\ e^{x ( a x + b )} & \tmop{si} x > 0 \end{array}\right.\] Determina \(a\) y \(b\) sabiendo que \(f\) es derivable.
Estudia la derivabilidad de la función \(f :\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) definida por \[f ( x ) = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{x}{1 - |x|} & \text{si } x \neq - 1 \text{ y } x \neq 1\\ 0 & \text{si } x = - 1 \text{ o } x = 1 \end{array}\right.\]
Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola \(y = x^2\) que es paralela a la recta \(- 4 x + y + 3 = 0\).
Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola \(y = x^2\) que pasan por el punto \(( 2, 0 )\).
Sea \(f ( x ) = x + x e^{- x}\). Calcular la ecuación de la recta tangente a \(f\) en un punto \(x\) para el cual dicha recta tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos \(( 1, 1 )\) y \(( 3, 3 )\).
De entre todos los rectángulos que tienen uno de sus vértices en el origen de coordenadas, el opuesto de este vértice en la curva \(y = \dfrac{2 x^2}{x^2 - 1}\) (\(x > 1\)), uno de sus lados situado sobre el semieje positivo de abscisas y otro lado sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene área mínima.
Sea \(f :\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \(f ( x ) = ( x - 1 )^2 e^{- x}\).
Halla las asíntotas de la gráfica de \(f\).
Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \(f\) y calcula, si existen, sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
Esboza la gráfica de \(f\).
Determina los puntos de la parábola de ecuación \(y = 5 - x^2\) que están más próximos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de coordenas.
Sea \(f :\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) la función continua definida por \[f ( x ) = \left\{\begin{array}{ll}|2-x| & \text{si }x<a\\x^2-5x+7 & \text{si }x\geq a\end{array}\right.\] donde \(a\) es un número real.
Determina \(a\).
Halla la función derivada de \(f\).
Sea \(f :\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \(f ( x ) = \dfrac{5 x + 8}{x^2 + x + 1}\).
Calcula los puntos de corte de la gráfica de \(f\) con los ejes coordenados.
Halla las asíntotas de la gráfica de \(f\).
Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \(f\) y calcula sus extremos relativos.
Esboza la gráfica de \(f\).
Demostrar que cualquiera que sea \(m\) la función polinómica \(f_m(x)=x^3-3x+m\) no tiene nunca dos raíces en \([0,1]\) (aplicar el Teorema de Rolle).
Demostrar que la gráfica de la función \(f(x)=x^2-\cos x\) tiene exactamente dos puntos de corte con el eje de abscisas (aplicar el Teorema de Rolle).
Sea \(f ( x )\) una función continua y derivable en \([ 0, 1 ]\), tal que \(f ( x ) \in [ 0, 1 ], \forall x \in [ 0, 1 ]\), y que cumple \(f'( x ) \neq 1,\forall x \in [ 0, 1 ]\). ¿En cuántos puntos del intervalo \([ 0, 1 ]\) se cortan la gráfica de \(f ( x )\) y la recta \(y = x\)? (Sugerencia: aplicar el teorema del Valor Medio).
Sea \(f ( x ) = \dfrac{e^x}{x - 1}\).
Halla las asíntotas de la gráfica \(f\).
Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \(f\).
Determina los intervalos de concavidad y convexidad de \(f\).
Esboza la gráfica de \(f\).
Sea \(f ( x ) = \dfrac{x^2 - 4 x + 3}{x - 2}\).
Estudia y determina las asíntotas de \(f\).
Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \(f\).
Calcula, si existen, el máximo y el mínimo absolutos de \(f\) en el intervalo \([ 0, 2 )\).
Sea \(f ( x ) = 2 - x|x|\).
Esboza la gráfica de \(f\).
Estudia la derivabilidad de \(f\) en \(x = 0\).
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto de abscisa \(x = 2\).
Sea \(f ( x ) = x|x - 1|\).
Halla los extremos y puntos de inflexión de la función \(f\).
Calcula el límite de \(f\) en \(+ \infty\) y en \(- \infty\).
Descomponer el número \(e\) en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima.
Dada la función \(f(x) = \dfrac{\left|x^2 - x - 2\right|}{x^2 + 2x + 1}\), se pide:
(1 punto) Hallar, si existen, las asíntotas de la gráfica de \(f\).
(1,5 puntos) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular, si existen, sus extremos relativos.
(Ordinaria 2020, B.2, 2.5 puntos) Sea la función: \[f(x) = \left\{\begin{array}{ll} (x-1)^2 & \text{si } x \leq 1 \\ (x-1)^3 & \text{si } x > 1 \end{array}\right.\]
(0.5 puntos) Estudie su continuidad en \([-4,4]\).
(1 punto) Analice su derivabilidad y crecimiento en \([-4,4]\).
(1 punto) Determine si la función \(g(x)=f'(x)\) está definida, es continua y derivable en \(x=1\).
Dada la función real de variable real \(f(x) = x - \dfrac{4}{(x-1)^2}\):
(0,75 puntos) Hallar el dominio de definición de \(f(x)\) y determinar, en el caso de que existan, las ecuaciones de las asíntotas de su gráfica.
(1 punto) Determinar los extremos relativos de la función, así como sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
(0.75 puntos) Calcular la ecuación de una recta tangente a la gráfica de \(f(x)\) que sea paralela a la recta de ecuación \(9x - 8y = 6\).
Un equipo de ingenieros realiza pruebas de consumo de un nuevo vehículo híbrido. El gasto en combustible por cada 100 kilómetros en función de la velocidad, medida en decenas de kilómetros por hora, es: \[c(v) = \twpwf{\dfrac{5v}{3}}{0 \leq v < 3}{14 - 4v + \dfrac{v^2}{3}}{v \geq 3}\]
(1 punto) Si en una primera prueba el vehículo tiene que circular a más de 3 decenas de kilómetros por hora, ¿a qué velocidad debe ir el vehículo para obtener un consumo mínimo?
(1,5 puntos) Si en otra prueba el vehículo debe circular a una velocidad \(v\) tal que \(1 \leq v \leq 8\), ¿cuáles serán el máximo y el mínimo consumo posibles del vehículo?
El modelo logístico es un modelo matemático utilizado para describir la evolución de una población a lo largo del tiempo, cuando los recursos son limitados. Es uno de los modelos matemáticos más comunes en viología y describe cómo la población se estabiliza cuando alcanza la capacidad de carga del entrono, esto es, el tamaño máximo que puede alcanzar una población antes de que los recursos se vuelva insuficientes, lo que genera competencia y, en muchos casos, una desaceleración de la tasa de crecimiento o una crisis en la población.
Un ejemplo de modelo logístico lo encontramos en las colonias de hormigas, que están compuestas por una red de túneles, entradas, cámaras de cría y áreas de almacenamiento, donde las hormigas establecen su hábitar.
Un grupo dei nvestigadores ha estudiado el momento en el que unas hormigas forman una nueva colonia y ha modelizado el número de hormigas (\(H(t)\)) después de \(t\) meses con la función: \[H(t) = \dfrac{6400}{1 + 159 e^{-0.5t}}\]
¿Cuántas hormigas formaron la nueva colonia inicialmente?
¿Cuál es la tasa media de crecimiento del primer año? ¿Y el segundo año? Interpretar el resultado.
¿Un observador afirma que el modelo siempre es creciente y entiende que la población de hormigas crece sin control. Justificar matemáticamente si esta afirmación es correcta o no.
¿En qué momento la colonia de hormigas alcanzará la mitad de su capacidad de carga?
En un hospital, un equipo de investigación está analizando cómo se metaboliza en sangre un nuevo medicameto llamado Metabolix, utilizado para tratar infecciones bacterianas. La concentración residual del fármaco en el plasma sanguíneo, denotada como \(f(x)\) (medida en miligramos por litro, \(mg/l\)), depende del tiempo transcurrido \(x\) (en horas) desde su administración. El estudio indica que el medicamento sigue dos fases diferenciadas. Fase de absorción: en las primeras dos horas, el fármaco se distribuye por el organismo. Fase de eliminación: a partir de la segunda hora, el fármaco empieza a eliminarse.
Este comportamiento se modeliza mediante la siguiente función matemática: \[f(x) = \twpwf{x^2 - 6x + 11}{0 \leq x < 2}{\dfrac{9}{\sqrt{5x - 1}}}{x \geq 2}\] El equipo de investigación necesita aclarar algunas dudas sobre el modelo matemático:
Confirmar si este modelo es realmente continuo.
La concentración residual varía con el tiempo. Comprobar que la velocidad instantánea de crecimiento de la concentración residual a las 3 horas de administrar Metabolix es mayor que \(-0.5\ mg/l/h\).
¿Es cierto que la concentración residual del fármaco en la sangre siempre va disminuyendo con respecto al tiempo transcurrido? Averiguar en qué instante la concentración residual es máxima y calcular el valor de dicha concentración.
Pasado un largo periodo de tiempo, ¿cuál será la concentración residual de este medicamento?
Dada la función \(f(x) = \dfrac{x^3-1}{x^2-1}\), se pide:
(1,25 puntos) Hallar su dominio y estudiar las asíntotas de su gráfica.
(0,75 puntos) Calcular la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((2,7/3)\).
(0,5 puntos) Encontrar, si es posible, algún punto \(x_0\) tal que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \(\left( x_0,f(x_0) \right)\) sea 1.
(1 punto) Proponga un ejemplo de función polinómica de grado 2 cuya gráfica sea tangente a la recta \(y=x\) en el punto \((0,0)\).
(1 punto) Proponga un ejemplo de función polinómica de grado 2 que tenga un máximo relativo en el punto \((1,1)\).
(0,5 puntos) Justifique si una función polinómica de grado 2 puede tener dos extremos relativos en \(\mathbb{R}\).
(0,5 puntos) Escriba un ejemplo de una función polinómica de grado 3 cuya gráfica corte al eje de abscisas en \(x = 0\), \(x=1\) y \(x=2\). Escriba también un ejemplo de una función polinómica de grado 3 cuya gráfica corte al eje de abscisas solo en los puntos \(x=1\) y \(x=0\).
(1 punto) Escxriba un ejemplo de una función polinómica de grado 3 que tenga un máximo relativo en el punto \((0,0)\) y un mínimo relativo en el punto \((1,-1)\).
(1 punto) Justifique si la gráfica de una función polinómica de grado 3 puede no cortar al eje de las abscisas.
Un agricultor dispone de 120 metros de valla para delimitar una parcela con forma de pentágono. Los vértices del pentagono se nombrarán consecutivamente como \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) y \(E\). Se sabe que \(A\), \(B\), \(D\) y \(E\) forman un rectángulo, y que el punto \(C\) se encuentra en el exterior de este rectángulo, formando un triángulo equilatero con los puntos \(B\) y \(D\). ¿A qué distancia del vértice \(A\) el agricultor debe ubicar los vértices \(B\) y \(E\) si quiere que la parecela tenga la mayor área posible?
Para la función \(f(x) = \sqrt{x^2+3x}\), se pide:
(0,75 puntos) Determinar su dominio y estudiar su paridad.
(1 punto) Calcular los límites: \(\limite{x}{-\infty}{\dfrac{f(x)}{x}}\) y \(\limite{x}{-\infty}{\left( f(x) + x \right)}\).
(0,75 puntos) Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f(x)\) para \(x = 1\).
Un ayuntamiento ha dividido en parcelas parte del terreno municipal no urbanizable y lo ha cedido a los vecinos para su cultivo. Uno de los vecinos ha decidido que en su parcela asignada utilizará como huerto una zona rectangular de 72 metros cuadrados, dejando el resto para plantar frutales e instalar una caseta donde guardar las herramientas necesarias. La zona de huerto estará dividida en dos partes: la parte dedicada al cultivo de horatalizas será un rectángulo interior separado de los lados que delimitan el huerto. La separación será de medio metro entre cada uno de los lados de mayor longitud y un metro entre cada uno de los lados de menor longitud. La franja que delimita la zona de hortalizas la dedicará al cultivo de flores y plantas aromáticas.
(2 puntos) Calcule las dimensiones del huerto para que el área de la zona para el cultivo de hortalizas sea máxima.
(0,5 puntos) Calcule el área de la zona de cultivo de hortalizas.
Dada la función \(f(x) = \sqrt[3]{\left( x^2 - 1 \right)^2}\) se pide:
(0,25 puntos) Estudiar si es par o impar.
(0,75 puntos) Estudiar su derivabilidad en el punto \(x = 1\).
(1,5 puntos) Estudiar sus extremos relativos y absolutos.
Sean las funciones \(f(x) = \dfrac{e}{e^x - e}\) y \(g(x) = \dfrac{1}{x - 1}\),
(1 punto) Calcule el límite \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \left( f(x) - g(x) \right)\).
(0.75 puntos) Estudie el crecimiento y decrecimiento de \(f(x)\) en su dominio.
(0.75 puntos) Estudie las asíntotas de la función \(g(x) + g(-x)\).
Sea la función: \[f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}(-8 + \cos x) & \text{si } 0 \leq x < \frac{\pi}{2} \\ a \sin x + 4 & \text{si } \frac{\pi}{2} \leq x < \pi \\ 2 \sin(2x) + b & \text{si } \pi \leq x < 2\pi \end{array} \right.\]
(1 punto) Halle los valores de \(a\) y \(b\) para que se verifiquen las hipótesis del Teorema de Bolzano en \([0, 2\pi]\).
(1 punto) Justifique razonadamente que la función \(f(x)\) tiene una única raíz en el intervalo \((0,2\pi)\) y calcule dicha raíz.
Se considera la función \(f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\ln \left( x^2 + 1 \right)}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{array} \right.\)
(1 punto) Determinar si \(f(x)\) es continua en todo \(\mathbb{R}\).
(1 punto) Determinar si \(f(x)\) es derivable en el punto \(x=0\) y, si existe, calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f(x)\) para \(x=0\).
Se quiere enlosaar un jardín con forma de triángulo rectángulo de catetos \(42\) m y \(56\) m. Dentro del jardín se va a diferenciar un espacio rectangular techado de forma que dos de sus lados sean paralelos a los catetos del triángulo, un vértice coincida con el vértice del ángulo recto del triángulo y el vértice opuesto esté sobre su hipotenusa.
Alicatar la parte cubierta cuesta \(30\) €/m2 y la parte no techada, \(50\) €/m2 pues las baldosas llevan un tratamiento especial resistente al agua. Calcule las dimensiones de la parte techada que hacen que el coste de instalar el suelo en el jardín sea mínimo.
Sea la función \(f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 3x^2 - \sin(ax) + b & \text{si } x < 0 \\ \dfrac{2e^x}{1 + x^2} & \text{si } x \geq 0 \end{array} \right.\).
(1 punto) Calcule los valores de \(a\) y \(b\) para que la función sea continua y derivable en \(x=0\).
(1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa \(x=2\).
Sea la función \(f(x) = x^2 + bx\).
(1 punto) Determine los valores de \(b\) para que la recta \(y = x - 1\) sea tangente a la gráfica de la función \(f(x)\).
(1 punto) ¿Es cierto que para cualquier valor de \(b\) existe una recta tangente a la gráfica de la función \(f(x)\) que sea paralela a la recta \(y = x - 1\)? Justifique la respuesta.
Calcule los límites siguientes:
(1 punto) \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right))\).
(1 punto) \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{\ln(1 + 2x)}\).
Sea la función \[f(x) = \dfrac{x}{\ln x}\] Halle el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos con sus correspondientes valores.